Prawo Biota-Savarta
Istnieje równanie, zwane prawem Biota-Savarta, które pozwala obliczyć pole \( B \) z rozkładu prądu. To prawo jest matematycznie równoważne z prawem Ampère'a (zob. moduł Prawo Ampere'a ). Jednak prawo Ampère'a można stosować tylko, gdy znana jest symetria pola (trzeba ją znać do obliczenie odpowiedniej całki). Gdy ta symetria nie jest znana, wówczas dzielimy przewodnik z prądem na różniczkowo małe elementy i stosując prawo Biota-Savarta, obliczamy pole jakie one wytwarzają w danym punkcie. Następnie sumujemy (całkujemy) pola od tych elementarnych prądów żeby uzyskać wypadkowy wektor \( B \). Na Rys. 1 pokazany jest krzywoliniowy przewodnik z prądem o natężeniu \( I \). Zaznaczony jest element \( dl \) tego przewodnika i pole \( dB \) jakie wytwarza w punkcie P.
Zgodnie z prawem Biota-Savarta pole \( dB \) w punkcie P wynosi
Z prawa Biota-Savarta znajdujemy pole \( dB \) pochodzące od elementu \( dl \) (położonego na szczycie okręgu)
Zwróćmy uwagę, że element \( dl \) jest prostopadły do \( r \).
Pole \( dB \) można rozłożyć na dwie składowe, tak jak na rysunku. Suma wszystkich składowych \( dB_{y} \) jest równa zeru bo dla każdego elementu przewodnika \( dl \) ta składowa znosi się z odpowiednią składową elementu leżącego po przeciwnej stronie okręgu. Wystarczy więc zsumować składowe \( dB \). Ponieważ
zatem
Ponadto, zgodnie z Rys. 2
oraz
Ostatecznie więc otrzymujemy
Zauważmy, że wielkości \( I, R, x \) są takie same dla wszystkich elementów \( dl \) prądu. Wykonujemy teraz sumowanie (całkowanie), żeby obliczyć wypadkowe pole \( B \) (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)
Treść zadania:
Wzór ( 9 ) przyjmuje znacznie prostszą postać w szczególnych punktach. Spróbuj na jego podstawie określić pole w środku koła ( \( x = 0 \)) oraz w dużej odległości od przewodnika tzn. dla \( x >> R \). Jak już mówiliśmy każdy obwód z prądem jest charakteryzowany poprzez magnetyczny moment dipolowy \( \mu = IS \), gdzie \( S \) jest powierzchnią obwodu. Wyraź obliczane pole magnetyczne poprzez \( \mu \). \( B(x = 0) = B(x >> R) = \)